Многочлен Лорана
Многочлен Лорана одной переменной над полем [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] это линейная комбинация положительных и отрицательных степеней переменной с коэффициентами из [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]. От обычных многочленов многочлен Лорана отличается тем, что показатель степени может быть отрицательным. Многочлены Лорана представляют особый интерес для изучения в теории функций комплексного переменного (см. Ряд Лорана).
Определение
Многочлен Лорана с коэффициентами из поля [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] — это выражение вида
- [math]\displaystyle{ p = \sum_k p_k X^k, \quad p_k\in \mathbb{F}, }[/math]
где X — формальная переменная, [math]\displaystyle{ k }[/math] — целое число (не обязательно положительное) и только конечное число [math]\displaystyle{ p_k }[/math] неотрицательны.
Два многочлена Лорана равны, если их соответствующие коэффициенты равны. Многочлены Лорана можно складывать и умножать точно также, как и обычные многочлены, но нужно помнить о том, что могут присутствовать отрицательные степени X
- [math]\displaystyle{ \left(\sum_i a_iX^i\right) + \left(\sum_i b_iX^i\right) = \sum_i (a_i+b_i)X^i }[/math]
и
- [math]\displaystyle{ \left(\sum_i a_iX^i\right) \cdot \left(\sum_j b_jX^j\right) = \sum_k \left(\sum_{i,j: i + j = k} a_i b_j\right)X^k. }[/math]
Т.к. количество неотрицательных коэффициентов [math]\displaystyle{ a_j }[/math] и [math]\displaystyle{ b_j }[/math] конечно, то все суммы будут иметь конечное количество членов и таким образом будут отображать многочлен Лорана.
Свойства
 | Этот раздел требует существенной доработки. |
- Многочлен Лорана над полем [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] может рассматриваться как ряд Лорана с конечным числом неотрицательных коэффициентов.
- Кольцо многочленов Лорана является подкольцом кольца дробно-рациональных функций.
Литература
- Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968. — 564 с.